Fungsi generasi urutan Fibonacci adalah siri kuasa

s ( x ) = ∑ k = 0 ∞ F k x k . {\displaystyle s(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}x^{k}.}

Siri ini adalah mudah dan jawapan bentuk-tertutup menarik untuk | x | < 1 / φ {\displaystyle |x|<1/\varphi }

s ( x ) = x 1 − x − x 2 . {\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}.}

Jawapan ini dapat dibukti dengan menggunakan kemunculan semula Fibonacci untuk melebarkan setiap koefisi dalam jumlah infinite mentakrifkan s ( x ) {\displaystyle s(x)} :

s ( x ) = ∑ k = 0 ∞ F k x k = F 0 + F 1 x + ∑ k = 2 ∞ ( F k − 1 + F k − 2 ) x k = x + ∑ k = 2 ∞ F k − 1 x k + ∑ k = 2 ∞ F k − 2 x k = x + x ∑ k = 0 ∞ F k x k + x 2 ∑ k = 0 ∞ F k x k = x + x s ( x ) + x 2 s ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}x^{k}\\&=F_{0}+F_{1}x+\sum _{k=2}^{\infty }\left(F_{k-1}+F_{k-2}\right)x^{k}\\&=x+\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-1}x^{k}+\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-2}x^{k}\\&=x+x\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}x^{k}+x^{2}\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}x^{k}\\&=x+xs(x)+x^{2}s(x)\end{aligned}}}

Menyelesaikan persamaan s ( x ) = x + x s ( x ) + x 2 s ( x ) {\displaystyle s(x)=x+xs(x)+x^{2}s(x)} for s ( x ) {\displaystyle s(x)} menyebabkan jawapan bentuk tertutup.

Terutamanya, buku teka-teki matematik menyatakan nilai aneh s ( 1 10 ) 10 = 1 89 {\displaystyle {\frac {s({\frac {1}{10}})}{10}}={\frac {1}{89}}} , atau lebih biasanya

∑ n = 1 ∞ F ( n ) 10 ( k + 1 ) ( n + 1 ) = 1 10 2 k + 2 − 10 k + 1 − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F(n)}{10^{(k+1)(n+1)}}}={\frac {1}{10^{2k+2}-10^{k+1}-1}}}

untuk semua integer k >= 0 {\displaystyle k>=0} .

Secara bicara,

∑ n = 0 ∞ F n k n = k k 2 − k − 1 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {F_{n}}{k^{n}}}\,=\,{\frac {k}{k^{2}-k-1}}.}